Vetores

Observação: Por motivos didáticos, neste texto nos limitaremos a vetores no plano \(\mathbb{R}^{2}\).

Um segmento AB é caracterizado pelos pontos A e B. Se especificarmos quais desses dois pontos é o ponto inicial e qual é o ponto final, teremos um segmento orientado AB. Podemos dizer, nesse caso, que A é a origem e B a extremidade do segmento.

Denota-se vetor o conjunto de segmentos orientados equipolentes a AB, ou seja, possuem mesma direção, sentido e módulo de AB. Cada segmento de reta orientado do grupo será um representante do vetor \(\vec{AB}\).

Ou seja, quando dois segmentos orientados são equipolentes (possuem mesma direção, sentido e módulo) dizemos que estes determinam um único vetor.

Na física, esses objetos matemáticos são de extrema importância e podem ser definidos como uma representação geométrica de uma determinada grandeza, sendo capaz de indicar sua direção e sentido. Ou seja, eles foram criados para podermos estudar de forma simples e objetiva as grandezas vetoriais.

Mas o que seria uma grandeza vetorial? Bem, às vezes, saber o valor de uma determinada grandeza não é o suficiente para se ter uma perfeita compreensão do que está acontecendo. Nesses casos, é necessária também uma orientação. Logo, uma grandeza vetorial é aquela que, como mencionado acima, possui direção, sentido e módulo, diferente de uma grandeza escalar, que não “aponta” para lugar algum (massa, tempo, temperatura e etc.). Podemos citar como exemplos de grandeza vetorial a velocidade com que uma partícula se move, o deslocamento total de um automóvel ou a aceleração de um corpo qualquer.

Temos aqui um exemplo de vetor velocidade.

Componentes de um vetor

Para facilitar o estudo de um vetor faz-se uso de componentes vetoriais, que nada mais são do que a representação do vetor em eixos de um plano cartesiano, processo também conhecido como decomposição de vetor.

Neste caso, podemos observar que as componentes do vetor \(\vec{a}\) nos eixos x e y são, respectivamente, \({a}_x\) e \({a}_y\) .

Podemos determinar geometricamente as componentes do vetor a partir do triângulo retângulo formado na figura.

Sendo \(\theta\) o ângulo formado entre \(\vec{a}\) e o eixo x, temos que: $$\cos\theta=\frac{{a}_x}{\left | \vec a \right |}$$ e $$\sin\theta=\frac{{a}_y}{\left | \vec a \right |}$$

Então, $${a}_x=\left | \vec a \right |\cos\theta$$ $${a}_y=\left | \vec a \right |\sin\theta$$

Da mesma forma que podemos determinar as componentes de um vetor através desses cálculos simples, podemos também determinar o módulo do vetor através de suas componentes. Para encontrar o módulo faz-se uso da equação abaixo, que nada mais é do que o conhecido Teorema de Pitágoras: $$|\vec a|=\sqrt{(a_x)^{2}+(a_y)^{2}} $$

Já o ângulo \(\theta\), podemos obtê-lo através da simples relação:

$$\tan\theta=\frac{{a}_y}{{a}_x}$$