Operação com vetores: Soma e Multiplicação de Vetor por Escalar

Observação: Embora seja possível definir espaços vetoriais complexos (onde os escalares são números complexos), serão estudados em nossos posts apenas espaços vetoriais reais, onde os escalares são números reais.

Soma de vetores

Deslocamento da formiga.

Consideremos uma formiga que se moveu de a até b e, em seguida, de b até c. Seu deslocamento pode ser representado com apenas dois vetores, um seguido do outro. Mas, para simplificar, podemos representar seu deslocamento total de uma outra maneira, com um único vetor \(\vec s\), denominado vetor soma ou vetor resultante.

Consideremos aqui \(\vec s\) o vetor soma de \(\vec a\) e \(\vec b\). Logo, \(\vec a +\vec b=\vec s\).

Diferente da soma algébrica comum, na soma de vetores o módulo e orientação também estão envolvidos na operação. Existem duas formas diferentes para realização da soma de vetores, elas são conhecidas como regra do polígono e regra do paralelogramo. Vejamos como utilizá-las:

Regra do Polígono

Se trata de um método simples para efetuar a adição de vetores e está representado na imagem acima. Tendo dois vetores não-nulos, devemos desenhar o \(\vec a\) no ângulo apropriado e o \(b\), também no ângulo correto, com sua origem na extremidade de \(\vec a\). O vetor soma seria o vetor que liga a origem de um dos vetores a extremidade do outro. No caso da imagem o vetor soma é \(\vec s\).

A lei de comutatividade e associatividade (clique no box abaixo para saber o que são elas) são válidas para a soma entre vetores. Ou seja, a ordem em que os vetores são somados é irrelevante. Logo, \( \vec a+ \vec b = \vec b + \vec a\). Quando existem mais de dois vetores, podemos colocá-los em qualquer ordem para somá-los.

Leis comutativa e associativa (clique aqui para ler)

Lei comutativa:

Durante a multiplicação ou adição de dois ou mais fatores, se a ordem destes for alterada o resultado continuará sendo o mesmo. Por exemplo, \(a+b = b+a\).

Ex: $$4+2=2+4=6$$

Lei associativa:

Ao associarmos parcelas, o resultado da operação permanece inalterado. Ou seja, \((a+b)+c=a+(b+c)\).

Ex: $$(5+4)+2=5+(4+2)=11$$

Ambas as propriedades são válidas para vetores. Logo, se tratando da lei comutativa, temos que: \(\vec a + \vec b = \vec b + \vec c\). Observe a animação:

Mesmo os vetores azul, vermelho e verde mudando de lugar, o vetor soma permanece o mesmo.

E essa é a lei associativa aplicada em vetores: \((\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)\). Veja o exemplo onde temos o vetor amarelo como resultante:

Através das imagens podemos observar que o vetor resultante, em ambos os casos, é o mesmo. Ou seja, a propriedade associativa é válida.

Vejamos esse segundo exemplo. Temos aqui dois vetores, \(\vec u\) e \(\vec v\):

Vetores u e v.

Ao somá-los, obtemos o seguinte vetor soma:

Soma de u e v.

Ou seja, posicionamos a extremidade de \(\vec u\) junto a origem de \(\vec v\) e como vetor resultante temos \(\vec u + \vec v\).

Essa regra também é válida para quando temos três ou mais vetores. Por exemplo:

Vetores u, w e v.

Fazendo uso da regra do polígono chegamos ao seguinte resultado:

Soma dos três vetores.

Regra do Paralelogramo

Sejam \(\vec u\) e \(\vec v\) dois vetores, ao somá-los, para determinarmos o módulo, sentido e direção do vetor resultante, devemos desenhar o paralelogramo definido por eles. Vejamos um exemplo com os vetores \(\vec u\) e \(\vec v\):

Vetores u e v.

Soma pela regra do paralelogramo.

Traçamos retas paralelas aos vetores e ligamos uma a outra. Logo em seguida, desenhamos uma reta “no centro” do paralelogramo, obtendo, assim, o vetor resultante. Observe:

Através das animações abaixo podemos ver que, independente da regra usada (regra do polígono ou do paralelogramo), o resultado será sempre o mesmo:

Comparação e equivalência entre os dois métodos.

Multiplicação de um vetor por um escalar

Multiplicação de vetor por um escalar é, como o próprio nome já diz, o produto entre um vetor e um número qualquer. Se temos o vetor \(\vec u\) sendo multiplicado por um escalar a, o produto será a\(\vec u\).

Esses são alguns exemplos de multiplicação de vetor por um escalar:

No terceiro exemplo, onde o \(\vec w\) está sendo multiplicado por 0, o vetor resultante “desaparece”. Esse é o chamado vetor nulo, ou seja, ele não possui dimensão, não tem um módulo, uma direção e nem um sentido.

Se a\(\neq 0\) e \(\vec u \neq 0\), o vetor resultante terá direção igual a de \(\vec u\), comprimento igual ao módulo de a vezes o comprimento de \(\vec u\), ou seja, \(\left |a \vec u  \right |= \left | a \right |\left | \vec u \right |\) e o sentido será o mesmo de \(\vec u\) se a for positivo e sentido oposto ao de \(\vec u\) se a for negativo.