Produto Vetorial

Definição

A maioria das pessoas considera o produto vetorial um pouco mais difícil de se calcular do que o produto escalar. Isso provavelmente acontece pois, para erros não serem cometidos, essa operação requer um pouco mais de atenção.

Vamos aprender, então, de onde vem o produto vetorial, parte por parte.

Ao multiplicarmos dois vetores, o resultado será um terceiro vetor, daí o nome produto vetorial. Mas como descobrimos o módulo, sentido, e a direção desse vetor resultante? É importante a compreensão desses tópicos para se ter um aprendizado mais completo.

Bem, o módulo do produto vetorial é equivalente à área do paralelogramo formado pelos dois vetores. Vejamos o seguinte exemplo:

O módulo do vetor u multiplicado pelo vetor v representa a área do paralelogramo formado pelos próprios vetores u e v.

Temos que a altura desse paralelogramo é igual a \(\left | \vec u \right | \sin \theta\) e a base igual a \(\left | \vec v \right |\). E sabemos que, para calcular a área de um paralelogramo devemos fazer base x altura. Logo, o módulo do produto vetorial entre \(\vec u\) e \(\vec v\) é dado por: $$\left | \vec u \right |\left | \vec v \right |\sin\theta=\acute{A}REA$$

Ao contrário do produto escalar, que pode ser definido num plano cartesiano, o produto vetorial poderá ser definido apenas no espaço.

A direção do vetor resultante é dada pela reta perpendicular ao plano. Toda vez que traçamos vetores no espaço, podemos dizer que uma reta perpendicular ao plano definido, por exemplo, por \(\vec u\) e \(\vec v\), “automaticamente aparecerá” passando pela origem comum. Logo, essa reta sempre nos dará a direção do vetor que encontramos. Observe:

Precisamos saber também o sentido desse vetor resultante, que pode ser encontrado através de uma regra denominada “regra da mão direita”:

 “Com o dedo indicador, alinha-se a mão direita com o primeiro vetor, dobra-se o dedo médio, alinhando-o com um segundo vetor, como representado na figura abaixo. O sentido do vetor fica definido de acordo com o fechar da mão, e a direção é a mesma da reta perpendicular ao plano.”

Observe:

Para resumir, temos por definição que, para calcularmos o módulo do produto vetorial faz-se uso da seguinte equação: \(\left | \vec v \times  \vec u  \right |= \left |\vec v  \right |\left | \vec u \right |\sin \theta\). A direção do vetor resultante terá sempre a mesma direção da reta perpendicular ao plano definido por \(\vec u\) e \(\vec v\), e o sentido será dado através da regra da mão direita, apresentada acima.

Propriedades

Ao trabalhar com produto vetorial devemos nos lembrar de alguns detalhes, por exemplo: a regra comutativa não é válida, ou seja, o produto vetorial é anticomutativo. Preste atenção na animação:

Na animação podemos ver como a mudança de ordem na operação altera o vetor resultante.

Veja que, \(\vec u \times \vec v\) tem o mesmo módulo e direção de \(\vec v \times \vec u\), porém sentido oposto. Portanto: \(\vec u \times \vec v =- \vec v \times \vec u\).

O módulo do produto vetorial só será igual a 0 quando um deles for vetor nulo ou se os dois possuírem a mesma direção:

Caso 1: Se um deles for nulo (ou seja, igual a zero), ele anulará todo o resto da operação, transformando tudo em 0: $$\left | \vec u \times  \vec v  \right |= \left |\vec u  \right |\left | \vec v \right |\sin \theta$$ $$\left | \vec u \times \vec v \right |= \vec u . 0\sin \theta$$ $$\left | \vec u \times \vec v \right | = 0$$

Caso 2: Se possuírem a mesma direção, o ângulo será igual a 0. Sabendo que \(\sin 0=0\), logo, ele também anulará todo o resto da operação: $$\left | \vec u \times  \vec v  \right |= \left |\vec u  \right |\left | \vec v \right |\sin \theta$$ $$\left | \vec u \times  \vec v  \right |=\vec u.\vec v.0$$ $$\left | \vec u \times  \vec v  \right |=0$$