Queda Livre

Observação: Embora iremos estudar a queda livre nas proximidades da superfície da Terra, vamos desprezar as forças de resistência do ar em nosso post.

Definição:

De forma simples e direta podemos dizer queda livre é o movimento resultante unicamente da aceleração provocada pela gravidade, quando a velocidade inicial é zero \(v_{0}=0 \).

A aceleração da gravidade é uma das formas de se verificar que a Terra exerce, sobre os corpos, uma força chamada “atração gravitacional” (trataremos desse assunto em breve).

Podemos calcular o valor da aceleração da gravidade usando a mecânica newtoniana, através da 2ª lei de newton e da expressão da força gravitacional.

A 2ª lei diz que a força resultante que age sobre um corpo deve ser igual ao produto da massa do corpo por sua aceleração

$$\vec{F}=m\vec{a}$$

A expressão da força gravitacional entre duas partículas de massas m1 e m2 separadas pela distancia \( \left | \vec{r} \right | \)

$$\vec{F}=\frac{-Gm_{1}m_{2}}{\vec{R}^{2}} \frac{\vec{r}}{\left | \vec{r} \right |}$$

Nesta expressão, G é uma contante universal dada por \(G=6,674287×10^{-11} m^{3}kg^{-1}s^{-2}\)

(O sinal de menos indica que a força gravitacional é sempre atrativa).

Você pode se perguntar como podemos usar essa expressão, já que a terra não é uma partícula. Newton provou que uma esfera homogênea pode ser considerada uma partícula para fins do cálculo de força gravitacional. Claro que a terra não é uma esfera homogênea, mas suas irregularidades podem ser desprezadas numa primeira aproximação.

Como vamos utilizar esta aproximação também não vamos levar em conta as pequenas variações da gravidade, causadas pela rotação da terra e suas irregularidades topográficas.

Vamos analisar em detalhe como surge a aceleração \( \vec{g}\).

A distancia a ser usada no calculo de g é \( \left | \vec{R} \right |=R_{T}+h \), onde o modulo de \( \left | \vec{g} \right |=g \). Assim sendo \(R_{T}\) sendo o raio da terra.

Utilizando a 2ª lei e a expressão da gravidade para calcular \( \vec{g} \)

Logo:

$$g=G\frac{M_{t}}{\left ( R_{T}+h \right )^{2}}$$

Observe um fato intrigante, a massa do objeto cancela na expressão acima. Ou seja, ao contrário da nossa intuição, qualquer que seja a massa do objeto que é largado, o \(g\) será o mesmo! Assim temos:

Porém podemos observar que o \(g\) não é independente da altura por causa do \(h\) na expressão. Ele na verdade diminui com a altura h! Mas porque os livros do ensino médio consideram g como uma constante? Isso ocorre porque para quenas alturas, h é desprezível em relação a \(R_{T}\).

Ou seja para \( h < < R \)  (alturas pequenas), a aceleração gravitacional é praticamente constante.

$$g\cong G\frac{M_{T}}{R_{T}^{2}}\left ( constante \right )
\left\{\begin{matrix}
& M_{T}=5,9742×10^{24}kg & \\
& R_{T}= 6.378,1366 km
& \\
& G=6,674287×10^{-11} m^{3}kg^{-1}s^{-2} &
\end{matrix}\right.$$

Substituindo os valores de

Desta forma e muito adequado nós problemas encontrados em livros e provas do ensino médio \(g = 9.8 m/s^{2}. \). Porém para grandes alturas g cai de forma considerável.

Veja a tabela abaixo e observe a variação de g para grandes alturas.

Tabela coma os valores da variação de gravidade com altura em milhares de quilômetros.

Como para os problemas que vamos abordar, o movimento nas proximidades da superfície da Terra, aceleração da gravidade é \(g = 9,8 m/s^{2}. \)

Cinemática do movimento (MRUV).

Dado um sistema de referência, o movimento é chamado retilíneo uniformemente variado (MRUV) quando a trajetória é uma reta e a velocidade varia linearmente com o tempo, isto é, a aceleração é constante.
A representação de um movimento pode ser feita através da fórmulas ou através do gráfico.

Cinemática da queda livre.

A partir de agora iremos tratar todo movimento de queda ou movimento retilíneo uniforme na direção do eixo y do sistema de coordenadas cartesianas, de queda livre.

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Como aceleração do nosso movimento é constante, podemos utilizar as equações do MRUV:

$$v(t)=a\left ( t-t_{0} \right )$$
$$y(t)=y_{0}+\left ( t-t_{0} \right )v_{0}+\frac{a}{2}\left ( t-t_{0} \right )^{2}$$

Portanto o objeto é largado, assim \(v_{0}=0\). Logo as equações são rescritas com:

$$v(t)=a\left ( t-t_{0} \right )$$
$$y(t)=y_{0}+\frac{a}{2}\left ( t-t_{0} \right )^{2}$$

Assim se podemos iniciar a contagem do nosso cronometro no início da queda escolhemos \(t_{0}=0\). Logo:

$$v(t)=at$$
$$y(t)=y_{0}+\frac{at^{2}}{2}$$

Quando tratamos de corpos em queda livre, utilizamos o eixo dos y como referencial e a aceleração a é a aceleração da gravidade g e como falamos de um movimento de decida,a velocidade é negativa, pois obedece o sentido contrário à orientação do eixo y (referencial). Assim, sabendo que \(a=-g\), para \(g=9,8\) em relação a y, a equação do movimento pode ser reescrita da seguinte maneira:

\(v(t)=-gt\) (equação horária da velocidade)
$$y(t)=y_{0}-\frac{gt^{2}}{2}$$

Essas expressões podem ser representados graficamente da seguintes formas:

( OBS: A velocidade é negativa porque a distância do corpo em relação à terra diminui com o tempo).

Vamos estudar a simulação:

Podemos observar tal fenômeno de corpos com massa e dimensão variados, não afetam na queda de dois corpos, na a ausência do ar (no vácuo), no vídeo gravado pela BBC Two, onde o físico Brian Cox apresenta o experimento do fenômeno de dois corpos em queda livre no vácuo.

Você pode estar visitando o site oficial da serie para saber mais sobre este e outro experimento gravados nela. www.bbc.co.uk.

Ha também um vídeo gravado pela NASA na missão Apollo 15 (Moon Walk), onde comandante David Scott realizou uma demonstração ao vivo para as câmeras de televisão. Ele estendeu um martelo geológico e uma pena e deixou-os cair ao mesmo tempo. Porque eles estavam essencialmente no vácuo, não havia resistência do ar e a pena caiu na mesma taxa como o martelo, como Galileu tinha concluído centenas de anos antes – todos os objetos libertados juntos caem à mesma velocidade independentemente da massa. saiba mais no “15 Relatório Preliminar Ciência Apollo“.

Um objeto pesado (um martelo geológico 1,32 kg de alumínio) e um outro objeto de massa (a 0,03 kg pena) foram libertados simultaneamente. a partir de aproximadamente a mesma altura (aproximadamente 1,6 M) e foram deixadas cair sobre a superfície. Dentro da precisão da libertação simultânea, os objectos foram observados para submeter a mesma aceleração e atingir a superfície lunar simultaneamente, o que foi um resultado previsto pela teoria.