Produto Escalar

Definição

O produto escalar é a multiplicação entre dois vetores que tem como resultado uma grandeza escalar. Ele associa a dois vetores um número real.

Tomemos os vetores $\vec u$ e $\vec w$ como exemplo. O produto escalar entre os dois vetores pode ser interpretado como o produto da projeção de $\vec u$ em $\vec w$ e o módulo de $\vec w$. Logo, o produto escalar entre $\vec u$ e $\vec w$ é definido da seguinte maneira: $$\vec u . \vec w=\left | \vec u \right |\left | \vec w \right |\cos \theta \;\;\; (1)$$

Onde $\theta$ é o ângulo entre os dois vetores. As projeções podem ser encontradas da seguinte maneira:

O vetor u é projetado no vetor w.

O vetor w projetado em u.

Nesse caso, a componente de $\vec u$ em $\vec w$ é $\left | \vec u \right |$$\cos \theta$. Já a componente de $\vec w$ em $\vec u$ é $\left | \vec w \right |$ $\cos \theta$.

Podemos também separar as componentes e reescrever a equação acima da seguinte forma: $$\vec u . \vec w= (u\cos\theta)(w) = (u)(w\cos\theta)$$

Exemplo (Clique aqui)

Suponhamos um vetor que forma um ângulo $\theta=60º$ em relação a outro vetor. O $\vec w$ possui módulo 3 e o vetor $\vec u$ possui módulo 4. Qual o valor do produto escalar entre os dois vetores?

R: Veremos que a projeção $P$ do vetor $\vec u$ em $\vec w$ é, simplesmente:

$$P= \left | \vec u \right | \cos \theta$$

Logo, o produto escalar se reduz a:

$$\vec u . \vec w = \left | \vec w \right | P= 3.4.(\frac{1}{2})=6$$

Uma visualização da solução na animação abaixo.

/ Animação fora de escala.

Nesse caso o vetor resultante será positivo pois, o ângulo formado entre $\vec u$ e $\vec w$ é agudo, ou seja, menor que 90º. Se o ângulo formado pelos dois vetores envolvidos for maior que 90º, o vetor resultante será negativo.

No intervalo entre 0º e 90º o cosseno possui valor maior que zero. E no intervalo entre 90º e 180º o cosseno possui valor menor que zero. Graças a isso, ao realizar o produto escalar, o resultado será positivo se o ângulo for agudo, e será negativo se o ângulo for obtuso.

No caso de vetores perpendiculares, a projeção de um em outro possui valor nulo, pois cosseno de 90° é igual a 0. Entenda melhor através da imagem e do exemplo abaixo:

Sabendo-se que $\cos90º=0$:

$$\vec u.\vec w= 4.3.0$$

Logo, $$\vec u.\vec w=0$$

Podemos observar que a propriedade comutativa é, obviamente, válida em todos esses casos. Ou seja, basta trocar a ordem dos produtos dos módulos dos vetores $\left | \vec u \right |$ e $\left | \vec v \right |$. Veja: $\vec u . \vec w=\vec w . \vec u$. E também podemos aplicar a propriedade distributiva: $\vec a . (\vec u + \vec w)=\vec a . \vec u + \vec a . \vec w$.

Coordenadas Cartesianas

O produto escalar se torna muito fácil de calcular quando os vetores são dados em sistemas de coordenadas cartesianas ortogonais. Por exemplo:

Na figura temos que $\vec u = (x_2, y_2)$ e $\vec w = (x_1, y_1)$. O produto escalar entre os dois vetores nesse caso pode ser escrito como $$\vec u. \vec w=x_1 x_2+y_1 y_2$$.

Vejamos este outro exemplo onde $\vec u=(x_{1},0)$ e $\vec v=(0,y_{1})$. Logo, $\vec u . \vec v=0$, para qualquer valor de $x_{1}$ e $y_{1}$. Isso decorre do fato de que $\vec u$ e $\vec v$, nesse caso, são ortogonais.

Demonstração (Clique aqui)

Podemos demonstrar que $\vec u.\vec v=\left | \vec u \right |\left | \vec w \right |\cos\theta=u_x w_x+u_y w_y$, observe:

Tomemos dois vetores, $\vec u$ e $\vec w$, em um plano cartesiano, formando um ângulo $\theta$ entre eles. O vetor $\vec w$ forma um ângulo $\alpha_1$ com o eixo horizontal, e é formado por duas componentes no sistema de coordenadas cartesianas,$w_x$ e $w_y$ como mostrado abaixo:

Da imagem vemos que as componentes do vetor são dadas por:

$$w_x=\left|\vec w \right| \cos\alpha_1 \;\;\; (1.1)$$

$$w_y=\left|\vec w \right| \sin\alpha_1 \;\;\; (1.2)$$

Já o vetor $\vec u$ forma um ângulo $\alpha_2$ com o eixo horizontal, e também possui duas componentes no sistema de coordenadas cartesianas:

Da imagem vemos que as componentes do vetor são dadas por:

$$u_x=\left|\vec u \right| \cos\alpha_2 \;\;\; (2.1)$$

$$u_y=\left|\vec u \right| \sin\alpha_2 \;\;\; (2.2)$$

Podemos estabelecer uma relação entre todos os ângulos seguindo a imagem abaixo:

Então,

$$\alpha_1 = \alpha_2 + \theta$$

Daí,

$$\theta = \alpha_1 - \alpha_2$$

Aplicando o cosseno a ambos os lados da equação acima, temos:

$$\cos \theta =\cos \left ( \alpha_1 - \alpha_2 \right )$$

Utilizando uma propriedade trigonométrica, chegamos a:

$$\cos \theta =\cos \alpha_1 \; \cos \alpha_2 + \sin \alpha_1 \; \sin \alpha_2 \;\;\; (3)$$

Substituindo as equações (1.1), (1.2), (2.1) e (2.2) em (5), chegamos a:

$$\cos \theta = \frac{w_x \; u_x}{\left|\vec w \right|\left|\vec u \right|}+\frac{w_y \; u_y}{\left|\vec w \right|\left|\vec u \right|} = \frac{w_x \; u_x + w_y \; u_y}{\left|\vec w \right|\left|\vec u \right|}$$

O que por fim nos leva a:

$${\left|\vec w \right|\left|\vec u \right|}\cos \theta =w_x \; u_x + w_y \; u_y= \vec w . \vec u$$

Bibliografia e Pesquisas

“Fundamentos da Física; Mecânica; 1” – Halliday & Resnick
“Cálculo Vetorial e Geometria Analítica – Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru”

Sobre o Autor

Carolina Moura

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